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                                                      從乘法分配律的直觀解釋說如何學習數學思維

                                                      Bella
                                                      6年從業經驗

                                                      免費留學咨詢表 (趣考不是留學中介,能給你客觀建議?。?/font>

                                                      聯系老師

                                                      與上一篇文章不同的是,這篇文章不是課后總結就是閱讀理解,而是應一位家長朋友的要求而寫的。

                                                      乘法的分配律對我們成年人來說很容易理解,但對很多孩子來說卻不容易理解,甚至很多5、6年級的孩子都能理解這個算法,所以有必要寫一篇短文來解釋這個問題。

                                                      先來解釋什么叫做分配律(distributive law)?

                                                      首先,這里的“分配律”僅限于小學生和中學生課本上的小學數學,并沒有擴展到布爾代數和形式邏輯。如果是這樣的話,這看起來可能很嚴格,但對小學生來說,理解起來就更難了。

                                                      “嚴謹”類似于“精確”,但它是一個相對的概念。不同的階段可以用不同的角度和術語更好地解釋。有一些數學老師總是對這個概念感到困惑,也無法把握尺度,總是認為代數證明越抽象越嚴密。我認為大多數數學家都不同意這個觀點,至少就我所知,被譽為數學莫扎特的陶哲軒并不這么認為。

                                                      引用小學課本上的定義:當你把兩個數的和乘以一個數,你可以先把每個數乘以那個數,然后把乘積相加。這就是乘法的分配律。

                                                      用代數表達式表示:c×(a+b) = c×a+c×b;

                                                      * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

                                                      事實上,代數和圖形符號都不像幾何圖形那樣直觀和容易理解。

                                                      首先看看美國四年級的數學競賽:64+64+64 = 8×□。

                                                      我看到很多孩子把3個64加起來等于192,然后把132除以8等于24。是這樣嗎?當然,這四個簡單的計算對中國孩子來說是小菜一碟。但不幸的是,寫這個問題的人并不是真的在尋找24個答案。

                                                      這個問題可以怎么去考慮呢?我們知道,64可以寫成8×8,于是64+64+64=8×8+8×8+8×8=8×(8+8+8)=8×24=8×□,因此得到□=24。這里其實考的就是乘法的分配率,這樣的計算比大部分孩子先把3個64相加得到192、然后再用132除以8得到24的做法簡單很多,也不容易出錯。

                                                      但我發現,很多小朋友對乘法分配率的理解有不同程度的困難,而困難的原因我認為則在于課本的定義和表達式過于抽象?,F在我們換個角度來理解這個問題。

                                                      我一直在鼓勵和訓練孩子們在看到數學表達式的時候用幾何圖形去聯想和構思,在看到幾何圖形的時候回到數學表達式。只要勤加練習,能自如地做來回切換,就會變得綽綽有余。在那年的高考中,我就是用這種方法在40分鐘內完成了整個數學考試。雖然最后我沒有得到滿分,但是速度對很多人來說是很難達到的。其實,只要科學有效地訓練數學思維,人人都能做到。

                                                      當我們看到兩個數相乘時,我們把它們聯系在一起是什么?矩形的面積。幾何之父歐幾里得曾多次提到過這個概念?;氐絼偛诺膯栴},64+64+64 = 8×8+8×8+8×8 = 3個邊為8的正方形的和,最后得到8×(8+8+8)= 8×24個矩形。如圖所示:

                                                      上圖的反推也是正確的。如:

                                                      所以,從上面的圖示可以看出,在小學階段的數學問題中,乘法的分配率其實本質上可以理解為矩形的拼接和分割。

                                                      此外,更復雜的情況可以表示為:

                                                      進一步的知識讀者朋友們可以看后面“延伸閱讀”中提到的文章,有很多不同的解釋和應用。

                                                      現在,順便說一下,讓我們做一個更有挑戰性的問題:1 * 1 * 1+2 * 2 * 2+3 * 3 * 3+4 * 4 * 4 * 4是多少?

                                                      很多孩子看到問題是開始死亡,很快得到了答案100。不是嗎?當然,就像前面的問題一樣,這個計算對中國孩子來說太簡單了。但我的問題是,假設他們說:1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+ 100 x 100 x 100?死亡也算在內嗎?所以很多孩子并不真正理解數學是什么,對吧?

                                                      如果我們把兩個數相乘我們可以把它看成一個矩形的面積,但是三個數呢?聰明的孩子會說從三維的角度去理解它。這樣想的孩子已經能夠做出推論了。事實上,你可以這樣想。如圖所示:

                                                      我不需要解釋太多的答案,但是這幅圖的證明非常簡單。但我想說的是還有另一種思考方法。由于二維平面向三維三維圖形的過渡,數學思維的難度會增加很多,還能停留在二維平面圖形的思維上嗎?答案是肯定的。

                                                      我們可以把1×1×1看成1×1的平方;把2×2×2看成2×2的平方;你可以把3×3×3看成3×3的正方形;…把n×n×n看成n×n的平方。然后把它們放在一起,得到如下的圖像:

                                                      當然,我們還可以這么來看問題:

                                                      這里我想解釋的是左邊這個n×n2的數學意義。我們發現在這個圖中,每一層的三角形數都是奇數,那么從1開始添加連續奇數的性質是什么?

                                                      再看一遍圖片:

                                                      從上圖可以看出,從1開始的連續奇數相加,其和為項數的平方。明白了這一點,我們就可以知道:

                                                      那么上面的圖可以更詳細地表示為:

                                                      因此,通過幾個角度的直觀證明,我們可以知道:1×1×1+2×2×2+3×3×3+…+ n * n * n =(1 + 2 + 3 +…)+ 2 n)從1開始的連續三次方數之和是一個完全平方。這是一個比計算一個簡單答案有趣得多的證明。

                                                      學數學,最重要的是學習數學思想和思維方式。這其中就包括觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、反思構成、演繹證明等等各種數學思想和能力。

                                                      這些才是最有美感的東西,而不是那些個簡單重復的計算,答案固然重要,但那只是水到渠成的結果。很多孩子似乎都搞不清這個問題的重要性,當然責任主要在于我們很多數學教育工作者們的教育導向出了很嚴重的問題。

                                                      (免費推薦留學中介/審核留學方案/獲取權威留學資料等)
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